Jeux & Stratégie n°2 avr/mai 1980
Jeux & Stratégie n°2 avr/mai 1980
  • Prix facial : 12 F

  • Parution : n°2 de avr/mai 1980

  • Périodicité : bimestriel

  • Editeur : Excelsior Publications

  • Format : (194 x 256) mm

  • Nombre de pages : 100

  • Taille du fichier PDF : 78,2 Mo

  • Dans ce numéro : découvrez le poker.

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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ma Du simple calcul des probabilités appliqué aux jeux de dés ou de cartes, à la réalisation des programmes complexes qui permettent aux ordinateurs de jouer aux échecs, les techniques mathématiques sont largement utilisées dans l'univers des jeux. Cette rubrique n'a certes pas la prétention de constituer un traité théorique mais, beaucoup plus prosaïquement, de proposer des méthodes directement applicables dans la pratique. Ainsi, nous commencerons tout de suite avec un important chapitre de la « Théorie des jeux » : « la résolution des jeux se ramenant à une matrice 2 x 2 ». Mais surtout, même si les math ne sont pas votre fort, ne vous laissez pas impressionner par cette terminologie qui peut vous sembler barbare. Lisez plutôt et vous découvrirez un moyen simple d'analyser un jeu de paris... et d'éviter de vous ruiner. ce jeu est-il équitable ? Commençons par l'histoire de Max et d'Alex. Echoués sur une île déserte, ils décident de jouer pour désigner celui qui se sacrifiera pour permettre à l'autre de survivre le plus longtemps possible avec leurs maigres réserves. Max trace alors sur le sable fin le curieux tableau que voici : (fig. 1). MAX Pile Face Pile 0 3 ALEX Face 2 1 « Nous ne jouerons qu'une seule partie, dit Max. Partie qui se joue en deux phases... D'abord, chacun de nous pose secrètement une pièce de monnaie sur le sol, côté pile ou côté face en dessus, sans que je puisse me rendre compte de ton choix et réciproquement. Puis chacun découvre sa pièce et prend connaissance du tirage réalisé (soit pile-pile, pile-face, face-pile ou face-face). On lit ensuite, sur le tableau que je viens de dessiner, le nombre se trouvant à l'intersection de la ligne horizontale que tu auras choisie avec ta pièce et de la colonne verticale que j'aurai sélectionnée avec la mienne. Par exemple, si nous choisissons tous les deux face, moi en colonne et toi en ligne, le chiffre désigné sera 1. — « Et si je choisis face, dit Alex, et toi pile, le chiffre désigné sera 2. — « C'est cela même. Ce chiffre représentera le nombre de chance sur 3 que tu auras de survivre. Si ce nombre est 3, tu auras gagné, puisque trois chances sur trois est une certitude. Dans ce cas la partie sera finie et tu survivras. Si c'est 0, tu auras perdu. Zéro chance sur trois est également une certitude. Une cruelle certitude en l'occurrence. Dans ce cas, c'est moi qui aurais gagné, la partie sera finie, et seul je survivrai. — « Et si 1 ou 2 est désigné ? Une chance sur deux ou deux chances sur trois ne sont pas des certitudes que je sache ! — « En effet. Dans ce cas, la seconde phase du jeu commencera. Je prendrai trois coquillages. Je marquerai d'une croix l'intérieur d'un ou deux d'entre eux, selon le résultat du tirage. Je les mélangerai et tu en prendras un au hasard. Si celui que tu auras choisi est marqué, tu auras gagné. Sinon, tu auras perdu. » Alex réfléchit un instant et dit : « Ce jeu est équitable ». Là-dessus, chacun consulta sa montre ! Pourquoi ? puis, comment chacun plaça-t-il sa pièce ? Alex savait, par la théorie, qu'il devait adopter la stratégie « jouer pile », 1 fois sur 4 (et donc la stratégie « jouer face », 3 fois sur 4) en moyenne et bien sûr, de manière aléatoire pour déjouer tout « calcul psychologique » de l'adversaire. Quant à Max, il savait qu'il avait le choix, à probabilités égales de réussite, entre pile et face. Les deux joueurs tirèrent donc au sort. C'est pourquoi ils regardèrent leur montre. Une trotteuse constitue, en effet, un excellent « générateur aléatoire ». Ici, par exemple, Max avait décidé qu'il jouerait pile si la trotteuse se trouvait entre 0 et 30 s au moment où il regarderait sa montre, face si la trotteuse se trouvait entre 30 et 60s. Quant à lui, Alex avait décidé qu'il jouerait pile si la trotteuse se trouvait entre 0 et 15 s au moment où il regarderait sa montre, face si la trotteuse se trouvait entre 15 et 60s. Ce qui était une excellente méthode de choisir pile avec une probabilité de 1/4. Mais, comment nos deux amis ont-ils fait pour choisir la meilleure stratégie ? C'est ici qu'intervient la théorie. Le tableau que Max a tracé (fig. 1) est une « matrice ». On dit que c'est une « matrice 2 x 2 » puisqu'elle comporte 2 lignes et 2 colonnes. En effet, le mot matrice désigne tout simplement en mathématiques un « tableau de nombres ». Et Max et Alex savaient analyser un jeu se ramenant à une matrice 2 x 2. Comment ? C'est ce que nous allons voir. Penchons-nous d'abord sur un nouvel exemple. Soient deux joueurs, que nous appelerons Cloris et Damin, en l'honneur de l'Abbé Soumille, qui donna ces noms aux deux joueurs des parties décrites dans son remarquable traité Le Grand Tric-Trac, dont la première édition parut en... 1738. Dans cet exemple, comme dans celui de Max et Alex, chacun des adversaires prend, à l'insu de l'autre, une décision parmi deux possibles. On dit que chacun des joueurs dispose de deux stratégies pures. Comme la décision de chaque joueur est indépendante de celle de l'autre, la partie aboutit à l'une des quatre possibilités qu'offre la matrice. On considérera que les joueurs jouent de la petite monnaie et que leurs intérêts sont rigoureusement opposés : les sommes perdues par l'un étant gagnées par l'autre. Dans de telles matrices, les chiffres indiquent les sommes gagnées et perdues par les joueurs. Il est d'usage de présenter les « règlements » par rapport au joueur « lignes », en l'occurrence Cloris. Ainsi « cinq » dans une case, signifie que Damin (joueur « colonnes ») paie 5 unités à Cloris. « Moins trois », indique que c'est, cette fois, Cloris qui paie trois unités à Damin. Comment dégager une stratégie, simplement en regardant la matrice ? On cherche d'abord s'il existe des « stratégies dominées », soit la matrice : (fig. 2). CLORIS DAM IN 1 2 2 -3 2 3 5 20
par IXHO Nous remarquons que, pour Cloris, tous les règlements de la ligne 2 sont supérieurs — et donc préférables — à ceux de la ligne 1 (3 est supérieur à 2 ; 5 à — 3). Cloris éliminera donc la ligne 1 de ses préoccupations : elle jouera 2, la ligne dominante. Notre matrice devient : (fig. 3). CLORIS DAM iN 1 2 1 2 5 Et l'on dit que la stratégie Cloris 2 domine la stratégie Cloris 1. De même, pour Damin, dans la matrice résultante, la colonne 1 (ou du moins ce qu'il en reste) domine la colonne 2, puisqu'il cherchera le règlement le plus faible. (fig. 4). DAMIN 2 CLORIS 2 3 Telle une peau de chagrin, notre matrice s'est réduite à une seule case. Cloris joue toujours 2 et Damin, toujours 1. Le problème est résolu : la valeur du jeu est 3. La « valeur du jeu » est, par définition, la moyenne des gains (ou des pertes), lorsqu'on effectue un grand nombre de parties et que les joueurs jouent au mieux. Lorsque la valeur du jeu est trois, on peut affirmer que toute autre manière de jouer, exposerait son auteur à un règlement moins favorable pour lui (payer plus de trois). Le jeu que propose cette matrice n'est pas équitable : Cloris paie en moyenne 3 à Damin, en adoptant sa stratégie optimale. Et Cloris, simplement en « lisant » la matrice, devrait refuser de jouer. D'une manière générale, pour qu'une stratégie soit dominée, il suffit que la valeur de chacune de ses cases soit inférieure ou égale à celle de la case correspondante de la stratégie dominante. Mais ce n'est pas toujours aussi simple (sinon, où serait le jeu ?). Voici une autre matrice DAMIN (fig. 5) : 1 2 CLORIS 2 3 6 5 4 Elle vous rappelle quelque chose ? Dans l'affirmative, vous avez l'oeil exercé ! A trois unités près dans chaque case, c'est la matrice du jeu de Max et Alex. Un coup d'oeil nous permet maintenant de I constater qu'il n'y a pas de stratégie dominée à supprimer. Il convient donc d'utiliser un autre « truc ». Voici donc, dépouillée de toute démonstration théorique, la « recette » qui vous permettra d'évaluer un jeu de ce type et de trouver la stratégie à adopter. Pour Cloris, j'inscris à la droite de chacune de ses lignes, le résultat de la soustraction du règlement de la case de droite de celui de la case de gauche. J'obtiens « 3 — 6 = — 3 et 5 — 4 = 1 ». Pour Damin, je porte au pied de chaque colonne le résultat de la soustraction du règlement de la case inférieure de celui de la case supérieure. Soit : 3 — 5 = —2 D et 6 — 4 = 2 1 2 (fig. 6). 3 6 1-3) C 5 4 Nous écrivons maintenant, I-21 121 à droite des nombres que nous venons de placer à l'extrémité des lignes, la valeur absolue de ces nombres (c'est-à-dire en supprimant les éventuels signes moins). Puis nous les intervertissons. Et nous agissons de façon semblable pour les colonnes (fig. 7) : D 1 C 2 2 3 6 5 4 1-3) 1'(-21 12/2 2 Nous avons, Total 4 par simple lecture, la réponse à notre question. a) Cloris doit jouer : — sa stratégie 1, en moyenne une fois sur quatre (probabilité 1/4) ; sa stratégie 2, en moyenne trois fois sur quatre (probabilité 3/4) ; b) Damin doit jouer : — sa stratégie 1, en moyenne deux fois sur quatre (prob. 1/2) ; — sa stratégie 2, en moyenne deux fois sur quatre (prob. 1/2). On note « Cloris (1 ; 3) » et « Damin (1 ; 1) ». Pour obtenir le meilleur résultat chaque joueur doit adopter une stratégie mixte (alternant, selon les probabilités, les stratégies 1 et 2). La trotteuse de la montre intervient ici pour fournir une distribution aléatoire. Quelle est la valeur du jeu ? La valeur du jeu (ou règlement moyen à la suite d'un grand nombre de parties) est 4,5. Pour déterminer cette valeur, il suffit de prendre n'importe quelle stratégie de l'un quelconque des joueurs (Damin par exemple) et de multiplier les règlements correspondants par les probabilités d'adoption des stratégies pures de l'autre, dans sa stratégie mixte optimale. Soit, plus concrètement, avec la stratégie Damin 1 : 3x 1/4 + 5 x 3/4 = 4,5 Si l'on prend Cloris 2 (par exemple) : 5 x 1/2 + 4 x 1/2 = 4,5 Nous pouvons vérifier que les stratégies mixtes optimales sont ici plus payantes que n'importe quelle stratégie pure. En effet, si Cloris jouait toujours 2, Damin s'en apercevrait et jouerait toujours 2 lui aussi. Le gain de Cloris tomberait alors de 4,5 à 4. La valeur du jeu étant 4,5, cette matrice n'est pas équitable et Damin perd en moyenne 4,5 unités à chaque partie, dans le meilleur des cas, c'est-à-dire en adoptant une stratégie mixte optimale. Le jeu d'une matrice quelconque est équitable si sa valeur est zéro. Notons enfin que le jeu de Max et Alex ne devenait équitable qu'avec la seconde phase du jeu. Vous devez à présent être paré pour ne pas vous laisser entraîner dans un jeu malhonnête. Vous n'en êtes pas sûr ? Voici un petit problème qui vous permettra de vérifier que vous ne serez jamais plus le « pigeon ». VOULEZ-VOUS JOUER AVEC MOI ? Je vous propose le jeu suivant : à chaque partie, nous allons inscrire chacun en secret un nombre sur une feuille de papier. Puis nous allons comparer ces nombres : — si mon nombre est pair, je vous paie 2 francs si votre nombre est impair ; mais, vous me payez 5 francs si votre nombre est pair. — si mon nombre est impair, je vous paie 3 francs si votre nombre est pair ; mais, vous me payez I franc si votre nombre est impair. Devez-vous raisonnablement accepter ce jeu ? Et si, de toutes manières, vous y jouez, comment devez-vous procéder ? Si vous « séchez », relisez attentivement la rubrique et vous verrez que ce n'est pas si difficile. solution page 93 21



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